KÜMELER

A. TANIM

• Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir.

• Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.

• Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,
  a Î A biçiminde yazılır. “a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur.
  b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır. “b, A kümesinin elemanı değildir.” diye okunur.

• Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.

• Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.

• A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir.

B. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.

1. Liste Yöntemi

Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.

A = {a, b, c} ise, s(A) = 3 tür.

2. Ortak Özelik Yöntemi

Kümenin elemanlarını; daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde, gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.

A = {x : (x in özeliği)}

Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.

Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.

C. EŞİT KÜME, DENK KÜME

Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

A kümesi B kümesine eşit ise A = B,

C kümesi D kümesine denk ise C º D dir.

Tamamen aynı elemanlardan oluşmayan kümelere eşit olmayan (farklı) kümeler denir.

A = {a, b, c}, B = {a, b, d} ise A ¹ B dir.

A = {1, b, 7}, B = {a, 2, d, 5} ise A ¹ B dir.

E. BOŞ KÜME

Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

Boş küme { } ya da Æ sembolleri ile gösterilir.

A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir.

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir.
B É A biçiminde gösterilir.

C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir.

Alt Kümenin Özelikleri

• Her küme kendisinin alt kümesidir. A Ì A

• Boş küme her kümenin alt kümesidir. Æ Ì A

• (A Ì B ve B Ì A) Û A = B dir.

• (A Ì B ve B Ì C) Ş A Ì C dir.

• n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2ⁿ dir.

G. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER

A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir.

2. Birleşim İşleminin Özelikleri

• A È Æ = A

• A È A = A

• A È B = B È A

• A È (B È C) = (A È B) È C

• A Ì B ise, A È B = B

• A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir.

3. Kümelerin Kesişimi

A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir.

4. Kesişim İşleminin Özelikleri

• A Ç Æ = Æ

• A Ç A = A

• A Ç B = B Ç A

• (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)
  

A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir.

İ. ELEMAN SAYISI

A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,

• s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B)

• s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A Ç B) – s(A Ç C) – s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)

• s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A)

• a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun.

Tenis veya voleybol oynayanların sayısı: a + b + c

Sadece tenis oynayanların sayısı: a

Sadece voleybol oynayanların sayısı: c

Tenis oynamayanların sayısı: c + d

Voleybol oynamayanların sayısı: a + d

Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı: a + b + c

Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı: d + a + c

Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı: d