MATEMATİK SİSTEMLER

I. İŞLEM

Bir kümenin herhangi iki elemanı, bu kümenin elemanı olan ya da olmayan bir elemana götüren kurala ikili işlem veya kısaca işlem denir.

İşlemler; + , – , : , x, D , m , q , « gibi simgelerle gösterilir.

B. İŞLEMİN ÖZELİKLERİ

A = {a, b, c, d} kümesinde 5 işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış olsun.

• b 5 c nin sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur. Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, b 5 c nin sonucudur. Buna göre, b 5 c = a dır.

A kümesinde 5 ve « işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre, aşağıdaki
5 özeliği inceleyelim:

1. Kapalılık Özeliği

Her a, b Î A için a 5 b nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi 5 işlemine göre kapalıdır.

Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi 5 işlemine göre kapalıdır.

2. Değişme Özeliği

Her a, b Î A için, a 5 b = b 5 a ise, 5 işleminin değişme özeliği vardır.

Tabloda tüm elemanlar köşegene göre simetrik olmalıdır.

3. Birleşme Özeliği

Her a, b, c Î A için a 5 (b 5 c) = (a 5 b) 5 c ise, 5 işleminin birleşme özeliği vardır.

Tabloda bunu analayabilmek için tüm durumları incelemek gerekir. Ama genelde değişme özeliği varsa, birleşme özeliğide vardır.

4. Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği

Her x Î A için, x 5 e = e 5 x = x ise, e ye 5 işleminin etkisiz elemanı denir.

e Î A ise, 5 işlemine göre A kümesi birim eleman özelliğine sahiptir.

Tablonun sonuçlar kısmında başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimindeki eleman etkisiz elemandır.

5. Ters Eleman Özeliği

5 işleminin etkisiz elemanı e olsun.

" a Î A için, a 5 b = b 5 a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına 5 işlemine göre a nın tersi denir.

a nın tersi b ise genellikle b = a^–1 biçiminde gösterilir.

b Î A ise, 5 işlemine göre A kümesi ters eleman özeliğine sahiptir.

C. MATEMATİK SİSTEMLER

A, boş olmayan bir küme olmak üzere, « işlemi A da tanımlı olsun.

(A, «) ikilisine matematik sistem denir.

2. Grup

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesinde tanımlı « işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi « işlemine göre bir gruptur.

1. A, « işlemine göre kapalıdır.

2. A üzerinde « işleminin birleşme özeliği vardır.

3. A üzerinde « işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır.

4. A üzerinde « işlemine göre her elemanın tersi vardır.

Örneğin;

Doğal sayılar kümesi, toplama işlemine göre bir sistem oluşturur.

Bu sistem (N, +) ile gösterilir.

A üzerinde tanımlı « işleminin değişme özeliği de varsa (A, «) sistemi değişmeli gruptur.

II. MODÜLER ARİTMETİK

Suat ile Servet; saat 11 de, 6 saat sonra buluşmak üzere anlaşıyorlar. Saat kadranı 12 bölmeli olduğu için, Suat ile Servet buluştuğunda saat 5 i gösterir.

Burada yapılan toplama, tam sayılardaki toplamadan farklıdır. Bu ve benzeri işlemler “Modüler Aritmetik” dalının konusudur.

Burada 12 li saatte yeni bir toplama yapmış oluyoruz. Bu toplamayı “Å” işaretiyle göstereceğiz.

Bu işlemi şu şekilde yazabiliriz.

11 + 6 = 17

Bu toplama işleminde, 12 sayısına, saat aritmetiğinin “modülü” veya kısaca “modu” denir.

Bir sayının verilen modüle göre dengi, bu sayının modüle bölümünden kalandır.

Örnek 1

15 º 1 (mod 2)

35 º 3 (mod 4)

173 º 3 (mod 5)

1881 º 1 (mod 10)  olur.

a º b (mod m) ise,

Örnek 2

92 º 22 (mod 5) tir. Çünkü, 92 nin ve 22 nin 5 ile bölümünden kalanlar eşittir.

B. YENİ BİR ÇARPMA ÇEŞİDİ

Bu çarpma türünde verilen sayılar çarpılır. Çarpım mod’a bölünerek kalan bulunur. Kalan, bu iki sayının verilen mod’a göre çarpımı olur. Çarpma işlemini “Ä” veya “” işaretiyle göstereceğiz.

n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı

a º b (mod m)

x º y (mod m)

olmak üzere,

Örnek 3

Bir hemşire 9 günde bir nöbet tutmaktadır. Bu hemşire ilk nöbetini çarşamba günü tuttuğuna göre, 53. nöbetini hangi gün tutar?

A) Pazar B) Salı C) Perşembe D) Cuma

Çözüm

Hemşire 9 günde bir nöbet tuttuğuna göre, 53. nöbetini tutması için 51 . 9 gün geçmesi gerekir.

53 Ä 9 º 4 Ä 2 º 1 (mod 7)

Hemşire ilk nöbetini çarşamba günü tutuğuna göre 7 nin katı olan günler yine çarşambaya rastgelir.
 

olduğuna göre, hemşire 53. nöbetini perşembe günü tutar.

Cevap C

Birbirine denk olan elemanların oluşturduğu kümelerin her birine “denklik sınıfları” denir. Örneğin, doğal sayıların 5 e bölündüğündeki kalanların kümesi (denklik sınıflarının kümesi);

{0, 1, 2, 3, 4} tür. Modülü de 5 tir.