|
TÜREVİN ANLAMI
A. TÜREVİN FİZİKSEL
ANLAMI
Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı,
fonksiyonu
ile verilsin.
Hareketlinin
t anındaki hızı:
ve
t anındaki ivmesi
olur.
Diğer bir ifadeyle, yol fonksiyonunun birinci türevi anlık
hızı; ikinci türevi ivmeyi verir.
B. TÜREVİN GEOMETRİK
ANLAMI
y
= f(x) fonksiyonunun A(x0, y0)
noktasındaki teğetinin Ox ekseniyle yaptığı pozitif yönlü
açının ölçüsü a olsun. Teğetin eğimi, tana ya eşit olduğu
için:
m = tana
dır.
Kural
|
y =
f(x) fonksiyonunun x = x0 daki türevi
A(x0,
y0) noktasındaki teğetinin eğimine
eşittir.
f'(x0)
= m = tana dır. |
Kural
|
Eğimi
m olan ve A(x0, y0) noktasından
geçen doğrunun denklemi, olduğu için, y = f(x) eğrisinin
A(x0, y0) noktasındaki
teğetinin
denklemi,
olur. |
Kural
|
Birbirine
dik olan doğruların eğimleri çarpımı – 1 olduğu için, y
= f(x) eğrisinin A(x0, y0)
noktasındaki normalinin eğimi:
Buna
bağlı olarak, y = f(x) eğrisinin A(x0,
y0) noktasındaki normalinin denklemi,
 |
C. ARTAN ve AZALAN
FONKSİYONLAR
1. Artan Fonksiyon
 bir fonksiyon
olsun.
Her
x1, x2 Î B
için,
x1
< x2 iken f(x1) < f(x2)
ise f(x) fonksiyonu B üzerinde artandır.
2. Azalan Fonksiyon
 bir fonksiyon
olsun.
Her
x1, x2 Î B
için,
x1
< x2 iken f(x1) > f(x2)
ise f(x) fonksiyonu B üzerinde azalandır.
Uyarı
|
Artan
fonksiyonun türevi daima pozitiftir. Bu ifadenin tersi
de doğrudur.
Azalan
fonksiyonun türevi daima negatiftir. Bu ifadenin tersi
de doğrudur. |
3. Sabit Fonksiyon
bir fonksiyon
olsun.
Her
x1, x2 Î B
için, f(x1) = f(x2) ise f(x) fonksiyonu
B üzerinde sabittir.
D. EKSTREMUM
DEĞERLER ve BUNLARIN TÜREVLE İLİŞKİSİ
1. Ekstremum Noktalar
|
 |
 bir fonksiyon
ve
a, b Î A olsun.
Her
x Î (a, b) için,
olacak
şekilde bir
p
Î (a, b) varsa, f(p) ye yerel
maksimum denir.
|
Her
x Î A için,
olacak
şekilde bir p Î A varsa, f(p) ye mutlak maksimum değer
denir.
|
 |
 bir
fonksiyon ve a, b Î A
olsun.
Her
x Î (a, b) için,
olacak
şekilde bir r Î (a, b) varsa,
f(r) ye yerel minimum değer denir.
|
Her
x Î A için,
olacak
şekilde bir r Î A varsa, f(r) ye
mutlak minimum değer denir.
Tanım
|
Fonksiyon maksimum ve
minimum değerlerinin hepsine birden, fonksiyonun yerel
ekstremum değerleri
denir. |
Kural
|
Fonksiyon ekstremum
noktalarda türevli ise, türevi sıfırdır. Tersi her zaman
doğru değildir. |
2. Birinci Türevden Yararlanarak Ekstremum
Noktaların Belirlenmesi
|
 |
h > 0 olmak üzere,
ise
y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma
sahiptir. Yerel maksimum değer, f(x0)
dır.
|
|
 |
h
> 0 olmak üzere,
ise
y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma
sahiptir.
|
Yerel
minimum değer, f(x0) dır.
Uyarı
|
Yukarıda verilen tanım
türevlenebilir fonksiyonlar için doğrudur. Ancak y =
f(x) fonksiyonu x = x0 da türevsiz olduğu
hâlde x = x0 da yerel maksimuma ya da yerel
minimuma sahip olabilir. |
Sonuç
|
Birinci
türevin sıfır olduğu noktada, türevin işareti
değişiyorsa yerel maksimuma ya da yerel minimuma
sahiptir.
Fonksiyonun
türevinin işaret tablosunda soldan sağa doğru, işaretin
– den + ya geçtiği noktada yerel minimum; işaretin + dan
– ye geçtiği noktada yerel maksimum
vardır. |
3. İkinci Türevden Yararlanarak Ekstremum
Noktaların Belirlenmesi
Kural
|
ise f(x) fonksiyonu x =
x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel
maksimum değeri, f(x0)
dır. |
Kural
|
ise f(x) fonksiyonu x =
x0 da yerel minimuma sahiptir. Yerel minimum
değeri, f(x0)
dır. |
E. İKİNCİ TÜREVİN
GEOMETRİK ANLAMI
1. Konveks Eğriler
f, [a, b] aralığından
 ye tanımlı
türevlenebilir bir fonksiyon olsun.
[a,
b] aralığında f ''(x) > 0 ise, f nin
grafiği olan eğri konveks (dış bükey) dir. Diğer bir ifadeyle,
bükülme yönü yukarı doğrudur. Eğri, teğetlerinin
yukarısındadır.
Aşağıdaki
grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konvekstir.
2. Konkav Eğriler
f, [a, b] aralığından
ye tanımlı
türevlenebilir bir fonksiyon olsun.
a,
b] aralığında f ''(x) < 0 ise, f nin
grafiği olan eğri konkav (iç bükey) dir. Diğer bir ifadeyle,
bükülme yönü aşağı doğrudur. Eğri, teğetlerinin
altındadır.
Aşağıdaki
grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konkavdır.
3. Dönüm (büküm) Noktası
f, sürekli olmak üzere, fonksiyonun
konvekslikten konkavlığa ya da konkavlıktan konveksliğe
geçtiği noktaya dönüm (büküm) noktası denir.
Diğer
bir ifadeyle, f nin grafiği olan eğrinin, eğrilik yönünün
değiştiği noktaya, dönüm (büküm) noktası denir.
Uyarı
|
x =
x0 noktasının dönüm noktası olması, x =
x0 da ikinci türevin olmasını garanti etmez.
Yani, dönüm noktasında türev tanımlı olmayabilir.
x =
x0 ın ikinci türevin kökü olması, x =
x0 ın dönüm noktası olmasını garanti etmez.
Dönüm noktasında ikinci türevin işaret değiştirmesi
gerekir.
x =
x0 dönüm noktası ve bu noktada ikinci türev
tanımlı ise, ikinci türev
sıfırdır. |
Uyarı
|
y =
f(x) fonksiyonunun grafiğine göre c büküm noktasının
apsisi ise aşağıdakiler söylenebilir.
1. (a < x
< b ve d < x < e ) için fonksiyon
azalandır.
Bu aralıkta f '(x)
< 0 dır.
2. b
< x < d için fonksiyon artandır. Bu aralıkta
f '(x) > 0 dır.
3. a
< x < c için f ''(x) > 0
dır.
4. x =
b de f(x) in yerel minimumu, x = d de f(x) in yerel
maksimumu vardır. Bu nedenle, f '(b)
= 0 ve f '(d) = 0 dır.
5. x = c de
f(x) in dönüm noktası vardır. Bu nedenle,
f ''(c) = 0
dır. | |
