|
TRİGONOMETRİ 2
I. PERİYODİK
FONKSİYONLAR
f, A kümesinden B kümesine tanımlı bir fonksiyon
olsun.
f : A ® B
Her x Î A için f(x + T) = f(x)
olacak
şekilde sıfırdan farklı en az bir T reel sayısı varsa; f
fonksiyonuna periyodik
fonksiyon, T ¹ 0 reel sayısına f nin periyodu denir. Bu
eşitliği gerçekleyen birden fazla T reel sayısı varsa,
bunların pozitif olanlarının en küçüğüne f fonksiyonunun
esas periyodu denir.
f(x) in esas periyodu T ise, k tam sayı olmak
üzere,
f(x)
in periyodu k × T dir.
TRİGONOMETRİK
FONKSİYONLARIN PERİYOTLARI
olduğu
için sinx, cosx, tanx ve cotx fonksiyonları periyodiktir.
sinx
ve cosx fonksiyonlarının periyodu 2kp, tanx ve cotx fonksiyonlarının periyodu
kp dir.
sinx ve cosx fonksiyonlarının esas periyodu (k =
1 için) 2p; tanx ve cotx
fonksiyonlarının esas periyodu p
dir.
Kural
|
a, b,
c, d birer reel sayı ve m pozitif tam sayı olmak
üzere,
f(x) =
a + b ×
sinm(cx + d)
g(x) =
a + b ×
cosm(cx + d)
fonksiyonlarının
esas periyotları T olsun.
Bu
durumda,
olur. |
Kural
|
a, b,
c, d birer reel sayı ve m pozitif tam sayı olmak
üzere,
f(x) = a + b ×
tanm(cx + d)
g(x) = a + b ×
cotm(cx + d)
fonksiyonlarının
esas periyotları T olsun.
Bu
durumda,
 |
Kural
|
fonksiyonlarının esas
periyodu, g(x) ve h(x) fonksiyonlarının esas
periyotlarının en küçük ortak katına (e.k.o.k. una)
eşittir. |
Uyarı
|
Buradaki kesirleri en sade
biçimde olmalıdır. |
Uyarı
|
f(x) =
h(x) × g(x) olmak üzere,
f(x) in esas periyodu, h(x) ve g(x) fonksiyonlarının
esas periyotlarının en küçük ortak katına (e.k.o.k. una)
eşit olmayabilir.
Eğer,
f(x) = h(x) × g(x) in
esas periyodu bulunacaksa, f(x) i fonksiyonların toplamı
biçiminde yazarız. Sonrada toplanan fonksiyonların esas
periyotlarının en küçük ortak katı alınır.
Yukarıdaki
açıklamalar bölünen fonksiyonlar için de
geçerlidir. |
II. TRİGONOMETRİK
FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
Trigonometrik fonksiyonların grafikleri
çizilirken,
1. Fonksiyonun esas
periyodu bulunur.
2. Bulunan periyoda
uygun bir aralık seçilir.
3. Seçilen aralıkta
fonksiyonun değişim tablosu yapılır. Bunun için, fonksiyonun
bazı özel reel sayılarda alacağı değerlerin tablosu yapılır.
Tabloda fonksiyonun aldığı değer bir sonraki aldığı değerden
küçük ise (aldığı değer artmış ise) o aralığa
 sembolünü
yazarız. Eğer, fonksiyonun aldığı değer bir sonraki aldığı
değerden büyük ise (aldığı değer azalmış ise) o aralığa
 sembolünü
yazarız.
4. Seçilen bir
periyotluk aralıkta fonksiyonun grafiği çizilir. Oluşan
grafik, fonksiyonun periyodu aralığında tekrarlanacağı
unutulmamalıdır.
A. SİNÜS
FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
fonksiyonunun
grafiği aşağıda çizilmiştir.
B. KOSİNÜS
FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
fonksiyonunun
grafiği aşağıda çizilmiştir.
Sonuç
|
fonksiyonu bire bir
ve
örtendir.
fonksiyonu bire bir ve
örtendir. |
C. TANJANT
FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
fonksiyonunun
grafiği kesiksiz olarak çizilmiştir.
D. KOTANJANT
FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
fonksiyonunun
grafiği kesiksiz olarak çizilmiştir.
Sonuç
|
fonksiyonu bire bir ve
örtendir.
fonksiyonu bire bir ve
örtendir. |
III. TERS
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
A. ARKSİNÜS
FONKSİYONU
f(x) = sinx fonksiyonunun tanım aralığı
 alınırsa
bu fonksiyon bire bir ve örten olur.
Bu
durumda,
fonksiyonunun
tersi,
f–1(x)
= sin–1x veya f–1(x) = arcsinx
şeklinde
gösterilir ve
B. ARKKOSİNÜS
FONKSİYONU
f(x) = cosx fonksiyonunun tanım aralığı
[0,
p] alınırsa bu fonksiyon bire bir ve
örten olur. Bu durumda,
f : [0, p] ®
[–1, 1]
f(x) = cosx
fonksiyonunun
tersi,
f–1(x)
= cos–1x veya f–1(x) = arccosx
şeklinde
gösterilir ve
arccos
: [–1, 1] ® [0, p] dir.
C. ARKTANJANT
FONKSİYONU
f(x) = tanx fonksiyonunun tanım aralığı
 alınırsa
bu fonksiyon bire bir ve örten olur.
Bu
durumda,
fonksiyonunun
tersi,
f–1(x)
= tan–1x veya f–1(x) = arctanx
şeklinde
gösterilir ve
D. ARKKOTANJANT
FONKSİYONU
fonksiyonu
bire bir ve örtendir.
fonksiyonuna
cotx in ters fonksiyonu denir. Kotanjant fonksiyonunun
tersi,
şeklinde
gösterilir.
Sonuç
|
Bir
fonksiyonun ters fonksiyonunun ters fonksiyonu
fonksiyonun kendisine eşittir.
sin(arcsinx) = x
tir.
cos(arccosx) = x tir.
tan(arctanx) = x tir.
cot(arccotx) = x
tir. |
Sonuç
|
q = arcsinx
ise, x = sinq dır.
q = arccosx
ise, x = cosq dır.
q = arctanx
ise, x = tanq dır.
q = arccotx
ise, x = cotq
dır. |
IV. ÜÇGENDE
TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR
A. SİNÜS
TEOREMİ
Kural
|
Bir ABC üçgeninin kenar
uzunlukları a, b, c; çevrel çemberinin yarıçapı R birim
olmak üzere,
 |
B. KOSİNÜS
TEOREMİ
Kural
|
Bir
ABC üçgeninin kenar uzunlukları; a, b, c olmak
üzere,
a2
= b2 + c2 – 2 × b × c × cosA dır.
b2
= a2 + c2 – 2 × a × c × cosB dir.
c2
= a2 + b2 – 2 × a × b × cosC
dir. |
C. ÜÇGENİN
ALANI
Sonuç
|
Bir ABC üçgeninin kenar
uzunlukları; a, b, c olmak üzere,
 | |
