|
PARABOL
A. TANIM
 olmak üzere,
 tanımlanan
f(x) = ax2 + bx + c
biçimindeki fonksiyonlara ikinci
dereceden bir değişkenli fonksiyonlar
denir.
kümesinin
elemanları olan ikililere, analitik düzlemde karşılık gelen
noktalara f fonksiyonunun grafiği denir.
İkinci
dereceden bir değişkenli fonksiyonların grafiklerinin
gösterdiği eğriye parabol
denir.
|
 |
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun
grafiği (parabol), yandaki gibi kolları yukarı doğru
olan ya da kolları aşağı doğru olan bir
eğridir. |
Kural
|
fonksiyonunun grafiğinin (parabolün);
 y eksenini kestiği noktanın; apsisi 0
(sıfır), ordinatı f(0) = c dir.
x eksenini
kestiği noktaların (varsa) ordinatları 0,
apsisleri
f(x) = 0 denkleminin
kökleridir. |
Kural
|
denkleminde,
D = b2 – 4ac olmak
üzere,
D > 0 ise, parabol x eksenini
farklı iki noktada keser.
D < 0 ise, parabol x eksenini
kesmez.
D = 0 ise, parabol x eksenine
teğettir. |
B. PARABOLÜN TEPE
NOKTASI
Şekildeki
parabollerin tepe noktaları T(r, k) dir.
Parabol
x = r doğrusuna göre simetrik olan bir şekildir. Bunun için,
parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleri olan
x1 ile x2 nin aritmetik ortalaması r ye
eşittir. Bu durumu kuralla ifade edebiliriz.
Kural
|
f(x) = ax2 + bx
+ c fonksiyonunun grafiğinin (parabolün) tepe noktası
T(r, k) ise,
 |
Sonuç
|
f(x) = ax2 + bx
+ c fonksiyonunun grafiğinin (parabolün) tepe noktası
T(r,
k) ise, bu parabolün simetri
ekseni x = r
doğrusudur. |
Uyarı
|
f(x) = ax2 + bx
+ c ifadesi ikinci dereceden fonksiyonunun en genel
halidir.
Bu fonksiyon düzenlenerek
f(x) = a(x – r)2 + k hâline dönüştürülürse,
tepe noktasının T(r, k) olduğu
görülür. |
Kural
|
fonksiyonunun grafiğinde (parabolde),
a > 0
ise kollar yukarıya doğru,
a < 0
ise kollar aşağıya doğrudur.
Buna
göre, f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun
grafiği aşağıdaki gibidir:
Parabolün en alt ya da en üst noktasına
tepe noktası denir. |
C. PARABOLÜN
GRAFİĞİ
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun
grafiğini çizmek için sırasıyla aşağıdaki işlemler
yapılır:
1) Parabolün
eksenleri kestiği noktalar bulunur.
2) Parabolün tepe
noktası bulunur.
3) Parabolün
kollarının aşağı veya yukarı olma durumuna göre, kesim
noktaları ve tepe noktası koordinat düzleminde gösterilip, bu
noktalardan geçecek biçimde grafik çizilir.
Kural
|
A)
 olmak
üzere, parabolün tepe noktası T(r, k) olsun.
a < 0
ise, y alabileceği en büyük değer k dir.
a > 0
ise, y nin alabileceği en küçük değer k dir.
B) Parabolün
tanım aralığı
 yani
gerçel sayılar kümesi değil de [a, b] biçiminde sınırlı
bir gerçel sayı aralığı ise fonksiyonun en büyük ya da
en küçük elemanını bulmak için ya şekil çizerek yorum
yaparız. Ya da aşağıdaki işlemler yapılır:
f(x) in
tepe noktasının ordinatı, yani k bulunur.
f(a) ile
f(b) hesaplanır.
a. Tepe noktasının apsisi [a, b] aralığında
ise; k, f(a), f(b) sayılarının, en küçük olanı f(x) in
en küçük elemanı; en büyük olanı da f(x) in en büyük
elemanıdır.
b. Tepe noktasının apsisi [a, b] aralığında
değil ise; f(a),
f(b) sayılarının, küçük olanı f(x)
in en küçük elemanı; büyük olanı da f(x) in en büyük
elemanıdır. |
D. PARABOLÜN
DENKLEMİNİN YAZILMASI
Bir parabolün denklemini tek türlü yazabilmek
için, üzerindeki farklı üç noktanın bilinmesi gerekir.
(a,
b), (m, n) ve (k, t) noktaları y = f(x) parabolü üzerinde
ise;
b
= f(a), n = f(m), t = f(k) eşitlikleri kullanılarak parabolün
denklemi bulunur.
Kural
|
x eksenini x1 ve
x2 noktalarında kesen parabolün
denklemi,
f(x) = a(x – x1)(x –
x2) dir. |
Kural
|
Tepe noktası T(r, k) olan
parabolün denklemi,
y = a(x –
r)2 + k dir. |
E. EŞİTSİZLİK
SİSTEMLERİNİN GRAFİKLE ÇÖZÜMÜ
Bir eşitsizliği sağlayan tüm noktaların koordinat
düzleminde taranmasıyla, verilen eşitsizliğin grafiği çizilmiş
olur.
kümesinin
analitik düzlemde gösterimi:
kümesinin
analitik düzlemde gösterimi:
F. İKİ EĞRİNİN
BİRLİKTE İNCELENMESİ
y = f(x) ile y = g(x) eğrisinin birbirine göre üç
farklı durumu vardır.
f(x) = g(x) denkleminin, tek katlı köklerinde
eğriler birbirini keser; çift katlı köklerinde birbirine
teğettir. Eğer f(x) = g(x) denkleminin reel kökü yoksa,
eğriler kesişmez.
Özel
olarak,
f(x)
= ax2 + bx + c parabolü ile y = mx + n doğrunun
denklemlerinin ortak çözümünde elde edilen,
ax2
+ bx + c = mx + n
ax2
+ (b – m)x + c – n = 0
denkleminin
diskriminantı D = (b – m)2
– 4a(c – n) olsun.
D > 0 ise parabol
ile doğru iki farklı noktada kesişir.
D < 0 ise parabol
ile doğru kesişmez.
D = 0 ise doğru
parabole teğettir. |
