|
LİMİT ve SÜREKLİLİK
I. LİMİT
A. SOLDAN YAKLAŞMA,
SAĞDAN YAKLAŞMA
x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle
yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma
denir ve
 biçiminde
gösterilir.
x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle
yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir
ve
 biçiminde
gösterilir.
B. LİMİT
KAVRAMI
Limit kavramını bir fonksiyonun grafiği üzerinde
açıklayalım:
Grafiği
verilen y = f(x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın solunda
yer alan ve giderek a ya yaklaşan A(x1,
y4) , B(x2, y3) ,
C(x3, y2) , D(x4,
y1), ... noktalarını göz önüne alalım:
Bu
noktaların apsisleri olan x1, x2,
x3, x4, ... giderek a ya yaklaşırken,
ordinatları
f(x1)
= y4, f(x2) = y3,
f(x3) = y2, f(x4) =
y1, ... giderek b ye yaklaşır.
Bu
durumu; x, a ya soldan yaklaşıyorken f(x) b ye yaklaşır
şeklinde ifade edebiliriz. Bu durumda,
f(x)
in x = a daki soldan limiti b dir denir. Ve
şeklinde
gösterilir.
Yukarıdakine
benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer alan ve
giderek a ya yaklaşan
E(x8,
y5) , F(x7, y6) ,
G(x6, y7) , H(x5,
y8) , ... noktalarını göz önüne alalım.
Bu
noktaların apsisleri olan x8, x7 ,
x6 , x5 , ... giderek a ya yaklaşırken,
ordinatlar f(x8) = y5 , f(x7)
= y6 , f(x6) = y7 ,
f(x5) = y8 , ... giderek d ye
yaklaşır.
Bu
durumu “x, a ya sağdan yaklaşıyorken f(x) d ye yaklaşır.”
şeklinde ifade edebiliriz.
Bu
durumda; f(x) in x = a daki sağdan limiti d dir denir. Ve
biçiminde
gösterilir.
Kural
|
f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan
limiti sağdan limitine eşit ise fonksiyonun x = a da
limiti vardır ve x in a noktasındaki limiti L ise,
biçiminde
gösterilir. x = a daki sağ limit ve sol limit değeri,
fonksiyonun x = a daki limitidir.
f(x)
fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine
eşit değil ise fonksiyonun x = a da limiti
yoktur. |
C. UÇ NOKTALARDAKİ
LİMİT
f fonksiyonu [a, b) aralığından [c, d) aralığına
tanımlı olduğu için, uç noktalardaki limitleri araştırılırken,
sadece tanımlı olduğu tarafın limitine bakılarak sonuca
gidilir.
Fonksiyonun
bir noktada limitinin olması için, o noktada tanımlı olması
zorunlu değildir. Buna göre,
Kural
D. LİMİTLE İLGİLİ
ÖZELLİKLER
Özellik
|
f ve g , x = a da limitleri
olan iki fonksiyon olsun.
 |
Özellik
Özellik
Özellik
Özellik
Özellik
E. PARÇALI
FONKSİYONUN LİMİTİ
Özellik
F. İŞARET
FONKSİYONUNUN LİMİTİ
Özellik
|
f(x) =
sgn [g(x)] olsun.
Bu
sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca
uymayan örnekler vardır.
Söz
gelimi, f(x) = sgn(x2) fonksiyonunun x = 0 da
limiti vardır ve 1
dir. |
G. TAM DEĞER
FONKSİYONUNUN LİMİTİ
Özellik
|
Bu
sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca
uymayan örnekler vardır.
Söz
gelimi,
fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır.
 |
H.
 NİN x =
a DAKİ LİMİTİ
Özellik
I.
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ
1. sinx in ve cosx in limiti
sinx ve cosx fonksiyonu bütün x reel değerleri
için tanımlı olduğu için,
olur.
2. tanx in limiti
tanx fonksiyonu
 olmak
üzere,
 koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı
olduğu için,
olur.
Sonuç
3. cotx in limiti
cotx fonksiyonu
 olmak
üzere,
 koşuluna
uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu
için,
olur.
Sonuç
J. BELİRSİZLİK
DURUMLARI
belirsizlikleriyle
karşılaştığımızda aşağıda verilen yöntemler kullanılarak limit
hesaplanır. Bu limitler türevin içinde vereceğimiz L’Hospital
kuralıyla da hesaplanabilir.
Kural
Kural
|
m, n
Î N olmak üzere,
olur. |
Kural
|
a >
0 olmak üzere, ¥ – ¥ belirsizliği olan limitler,
kuralını
kullanarak
hesaplanabilir. |
Kural
|
Buna göre, 0 × ¥ belirsizliği
 veya
 belirsizliğine dönüştürülerek sonuca
gidilir. |
Kural
II.
SÜREKLİLİK
Kural
|
f(x) fonksiyonu apsisi x =
a olan noktada
süreklidir. |
Sonuç
|
y = f(x) fonksiyonu x = a
da sürekli ise,
 |
Uyarı
|
f(x) fonksiyonu apsisi x =
a olan noktada sürekli değil ise,
süreksizdir. |
Kural
|
1. Bir
fonksiyon bir noktada tanımsız ise, o noktada
süreksizdir.
2. Bir
fonksiyon bir noktada limitsiz ise, o noktada
süreksizdir.
3. Bir
fonksiyon bir noktada tanımlı ve limitli ancak, tanım
değeri limit değerinden farklı ise, bu noktada
süreksizdir. | |
