|
KARMAŞIK
SAYILAR
I. KARMAŞIK SAYILAR
KÜMESİ
Tanım
|
 sayısına
sanal sayı (imajiner sayı) birimi denir. ve
 ile
gösterilir. |
Uyarı
|
a, b pozitif gerçel sayı ve
x, y negatif gerçel sayı olmak üzere,
 |
A. i NİN
KUVVETLERİ
olmak
üzere,
i0
= 1 dir.
i1
= i dir.
i2
= –1 dir.
i3
= i2 × i1 = (–1) ×
i = –i dir.
i4
= i2 × i2 = (–1) × (–1) =
1 dir.
i5
= i4 × i1 = 1 × i =
i dir.
Görüldüğü
gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, –1, –i
değerlerinden birine eşit olmaktadır.
Sonuç
|
Sanal
sayı biriminin (i nin) kuvveti x olsun. x tam
sayısı 4 ile bölündüğünde,
kalan
0 ise, ix ifadesinin eşiti 1,
kalan
1 ise, ix ifadesinin eşiti
i,
kalan
2 ise, ix ifadesinin eşiti –1,
kalan
3 ise, ix ifadesinin eşiti –i
dir.
Buna
göre, n tam sayı olmak üzere,
i4n=
1,
i4n+1
= i,
i4n+2
= –1,
i4n+3
= –i dir. |
Tanım
|
a ve b
birer reel (gerçel) sayı ve
 olmak
üzere,
z = a + bi
şeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir.
Karmaşık
sayılar kümesi
 ile
gösterilir. Buna göre,
z =
a +
bi karmaşık
sayısında;
a ya karmaşık
sayının reel (gerçel)
kısmı,
b ye karmaşık
sayının imajiner (sanal)
kısmı denir.
z =
a +
bi ise
Re(z) = a
İm(z) = b
şeklinde
gösterilir. |
Uyarı
|
Her
reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir
karmaşık sayıdır.
Buna göre,
karmaşık sayılar kümesi reel sayılar kümesini kapsar.
Yani,
dir. |
B. İKİ KARMAŞIK
SAYININ EŞİTLİĞİ
Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi
aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine
eşittir.
Kural
C. KARMAŞIK
SAYILARIN ANALİTİK DÜZLEMDE BELİRTİLMESİ
Reel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık
sayının; z = a + ib şeklindeki gösterimine karmaşık
sayının standart (cebirsel) biçimi,
Z(a, b) biçimindeki
gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi
denir.
Ox
eksenine reel eksen, Oy eksenine de sanal (imajiner) eksen
diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi
elde ederiz.
Karmaşık
sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir
eşlenebilir.
z = a + bi karmaşık sayısının düzlemdeki
görüntüsü (a, b) noktasıdır.
D. KARMAŞIK SAYININ
EŞLENİĞİ
 ve i2 = –1 olmak
üzere,
a + bi ve a + (–b)i karmaşık sayılarından birine
diğerinin eşleniği denir.
z
karmaşık sayısının eşleniği
 ile
gösterilir.
Buna
göre,
Kural
|
Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği
kendisidir.
Buna
göre,
 |
Kural
|
Reel kat sayılı,
ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin
köklerinden biri m +
ni karmaşık sayısı ise diğeri m – ni
sayısıdır. |
E. KARMAŞIK
SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ)
Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık
gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına
bu sayının mutlak değeri veya modülü denir.
z karmaşık sayısının mutlak değeri |z| ile
gösterilir.
|
 |
Yandaki dik üçgende Pisagor teoreminden
de,
dir. |
F. KARMAŞIK
SAYILARDA İŞLEMLER
1. Toplama İşlemi
Karmaşık sayılar toplanırken, reel kısımlar kendi
aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. Buna
göre,
i2
= –1 olmak üzere,
karmaşık
sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,
2. Çıkarma İşlemi
z + (–w) = z –
w
olduğuna
göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile
toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna
göre,
z
ile w nin farkı, reel kısımların birbiri ile sanal kısımların
birbiri ile farkına eşittir. Reel kısımların farkı, sonucun
reel kısmını; sanal kısımların farkı, sonucun sanal kısmını
verir. Buna göre,
i2
= –1 olmak üzere,
karmaşık
sayıları verilmiş olsun. Bu durumda
3. Çarpma İşlemi
Karmaşık sayılarda çarpma işlemi,
i2 = –1 olduğu göz önüne alınarak, reel
sayılardakine benzer şekilde yapılır.
z
= a + bi ve w = c + di olsun. Buna
göre,
Sonuç
|
i2 = –1
ve z = a + bi olmak üzere,
 |
Kural
|
i2 = –1
ve n tam sayı olmak üzere,
 |
4. Bölme İşlemi
z1
× (z2)–1 sayısına z1 in
z2 ye bölümü denir ve
biçiminde gösterilir.
Karmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ile
paydanın, paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle
yapılır. Yani,
z1
= a + bi ve z2 = c + di ise,
5. Eşlenik ve Mutlak Değerle İlgili Bazı
Özellikler
z1 ve z2 birer karmaşık sayı
olmak üzere,
G. KARMAŞIK DÜZLEMDE
İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK
z = a + bi ve w = c + di olsun.
|z –
w|
ifadesinin değeri z ile w sayısı arasındaki
uzaklığa eşittir.
z
sayısına karşılık gelen nokta A, w sayısına karşılık gelen
nokta B olsun. Buna göre,
Kural
|
z,
değişen değerler alan bir karmaşık sayı; w sabit bir
karmaşık sayı ve r, pozitif reel sayı olmak
koşuluyla
|z – w| =
r
eşitliğini gerçekleyen z noktalarının
kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen
nokta ve yarıçapı r olan bir çember belirtir.
|z – w| <
r
eşitsizliğini gerçekleyen z noktalarının
kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen
nokta ve yarıçapı r olan çemberin iç bölgesini
belirtir. |
II. KARMAŞIK
SAYILARIN KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ
i2 = –1
olmak üzere, z = a + bi olsun.
z
nin karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktasıdır. z
karmaşık sayısını orijine birleştiren doğrunun reel eksenle
(Ox ekseniyle) pozitif yönde yaptığı açıya, z karmaşık
sayısının argümenti denir ve
arg(z) ile gösterilir.
 olsun. Bu
durumda,
 şeklinde
gösterilir.
Açının
esas ölçüsü olan değere de
 esas argüment denir. Bu
durumda esas argüment; negatif olmayan ve 360° den ( radyandan)
küçük bir değerdir.
Yukarıdaki
şekilde, OHM dik üçgeninden,
yazılır.
Buradan,
Sonuç
|
i2
= –1 olmak üzere, z = a + bi olsun. z nin, mutlak
değeri (orijine uzaklığı) |z| = r ve esas argümenti
q olmak üzere,
z = |z|
× (cosq + isinq)
biçiminde
yazılmasına, z karmaşık sayının kutupsal (trigonometrik)
gösterimi denir.
z = |z|
× (cosq + isinq)
ifadesi z = r × cisq biçiminde kısaca
gösterilebilir. |
Tanım
|
i2
= –1 olmak üzere, z = a + bi olsun.
Karmaşık
sayının mutlak değeri ile argümentinden oluşan sıralı
ikiliye bu sayının kutupsal koordinatları denir. z nin
kutupsal koordinatları (|z|, q)
veya (r, q) biçiminde
gösterilir. |
Kural
|
olmak
üzere,
Buna
göre, karmaşık sayıların çarpımının argümenti, bu
sayıların argümentleri toplamına eşittir. Bu
durumda,
 |
Kural
|
olmak üzere,
Buna göre, iki karmaşık
sayının bölümünün argümenti, bu sayıların argümentleri
farkına eşittir. Bu durumda,
 |
Kural
Sonuç
Sonuç
|
Buna göre, bir karmaşık
sayının esas argümentinin ölçüsü radyan türünden a ise, bu karmaşık sayının
eşleniğinin esas argümenti 2p –
a
dır. |
Kural
|
z0
= a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki
görüntüsü M(a, b) noktası olsun.
arg( z –
z0) = q
koşulunu
sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsü MP yarı
doğrusudur.
 |
A. ORİJİN ETRAFINDA
DÖNDÜRME
z = r × cisq karmaşık
sayısının orijin etrafında pozitif yönde a kadar döndürülmesiyle elde edilen
karmaşık sayı, v = r × cis(q +
a) olur. Bu
durum,
v = z × (cosa +
isina)
biçiminde
de ifade edilebilir.
Uyarı
|
Bir karmaşık sayıyı negatif
yönde q derece kadar döndürmek,
o sayıyı pozitif yönde 360° – q
kadar döndürmektir. |
B. BİR KARMAŞIK
SAYININ KÖKLERİ
 olmak üzere,
zn
= u denklemini sağlayan z sayısına u sayısının n inci
kuvvetten kökü denir.
Sonuç
|
z2
= w eşitliğini sağlayan z sayıları birbirinin toplama
işlemine göre tersidir.
Yani,
z2 = w eşitliğini sağlayan z sayıları
z1 ile z2 ise,
z1
= –z2 dir. |
Kural
|
zn = w
denkleminin kökleri aşağıdaki eşitliği sağlayan
zk sayısında k yerine, 0, 1, 2, ... , (n – 1)
yazılarak bulunur.
 | |
