İntegralin Uygulamaları (Mat-2)

İNTEGRALİN UYGULAMALARI

 

A. İNTEGRAL İLE ALAN ARASINDAKİ İLİŞKİ

Aşağıdaki şekilde y = f(x) eğrisi y = g(x) eğrisi x = a ve x = b doğrusu arasında kalan taralı bölge verilmiştir.

     

Bölge (ya da eğriler) hangi konumda olursa olsun, yukarıdaki eğrinin denkleminden aşağıdaki eğrinin denkleminin çıkarılmasıyla oluşan belirli integral, bölgenin alanını ifade etmektedir.

     

Bu sayfadan sonraki sayfada verilen şekilde x = f(y) eğrisi x = g(y) eğrisi y = a ve y = b doğrusu arasında kalan taralı bölge verilmiştir.

     

Bölge (ya da eğriler) hangi konumda olursa olsun, sağdaki eğrinin denkleminden soldaki eğrinin denkleminin çıkarılmasıyla oluşan belirli integral, bölgenin alanını ifade etmektedir.

     

Kural

 1. Hangi konumda olursa olsun, alan daima pozitif bir reel sayı ile ifade edilir.

 2. Belirli integralin değeri bir reel sayıdır.

 3. İntegral ile alan ilişkilendirilirken,

 a. Alan x ekseninin üst kısmındaysa, alanı ifade eden sayı integrali de ifade eder.

 b. Alan x ekseninin alt kısmındaysa, alanı ifade eden sayının toplama işlemine göre tersi integrali ifade eder.

 

Kural

y = f(x) parabolünün tepe noktasının apsisi r ordinatı
k; x = f(y) parabolünün tepe noktasının apsisi n ordinatı m dir.

  Yukarıda solda verilen parabolde taralı alan,

 

Yukarıda sağda verilen parabolde taralı alan,

 

Yandaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Taralı alan,

 

  Bu kurallar bütün paraboller için geçerlidir.

 

Kural

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

     

 

 

B. İNTEGRAL İLE HACİM ARASINDAKİ İLİŞKİ

Kural

y = f(x) eğrisi,

x = a, x = b doğruları ve x ekseni ile sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) x ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

  

 

Kural

x = g(y) eğrisi,

y = c, y = d ve y ekseni tarafından sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) y ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

    

 

Kural

y = g(x) eğrisi,

x = a, x = b ve y = f(x) tarafından sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) x ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

    

 

Kural

x = f(y) eğrisi,

y = c, y = d ve x = g(y) tarafından sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) y ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi: