|
DİZİLER
A. TANIM
Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her
fonksiyona dizi adı verilir.
fonksiyonununda,
olduğuna
göre,
biçiminde
yazılabilir.
f
fonksiyonu (dizisi) genel olarak,
biçiminde
veya kısaca (an) biçiminde gösterilir.
a1,
dizinin 1. terimi (ilk terimi);
a2,
dizinin 2. terimi;
a3,
dizinin 3. terimi;
...
an,
dizinin n. terimi (genel terimi) dir.
Uyarı
|
1.
Genel terimi belirtilmeyen sayı grupları dizi meydana
getirmezler.
2.
Diziler değer kümesine göre adlandırılır. Değer kümesi;
reel sayılar kümesi olan dizi reel sayı dizisi, karmaşık
sayılar olan dizi karmaşık sayı dizisi adını
alır. |
B. SONLU
DİZİ
Tanım
kümesi Ak olan dizilere sonlu dizi denir.
C. SABİT
DİZİ
Bütün terimleri birbirine eşit olan diziye
sabit dizi
denir.
D. EŞİT
DİZİ
Her n pozitif tam sayısı için,
an =
bn
ise,
(an) ve (bn) dizilerine eşit diziler
denir.
E. DİZİLERLE YAPILAN
İŞLEMLER
(an) ve (bn) birer dizi, c
bir reel sayı olmak üzere,
F. MONOTON
DİZİLER
Genel terimi an olan bir dizide eğer
her
için,
Uyarı
|
 dizisinin monotonluk durumu aşağıdaki şekilde
incelenir:
1.
Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den küçük ise
dizi monotondur.
Bu
durumda,
a) ad – bc > 0
ise dizi monoton
artandır.
b) ad – bc
< 0 ise dizi monoton
azalandır.
c) ad – bc = 0
ise dizi sabittir.
2.
Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den büyük ise
dizi monoton
değildir. |
G. ALT
DİZİ
Bir (an) dizisi verilmiş olsun.
(kn)
artan bir pozitif tam sayı dizisi olmak üzere,
dizisine (an) dizisinin alt dizisi denir ve
 biçiminde gösterilir.
H. DİZİLERİN
YAKINSAKLIĞI VE IRAKSAKLIĞI
1. Komşuluk
a ve e birer reel
sayı ve e > 0 olmak
üzere,
açık
aralığına a nın e (epsilon)
komşuluğu denir.
Bu
aralığı (kümeyi) T ile gösterirsek,
olur.
T
kümesi sayı doğrusunda aşağıdaki gibi gösterilebilir.
Uyarı
|
1.
(an) dizisinin, a nın e komşuluğundaki terimleri,
eşitsizliğini
sağlar.
2.
(an) dizisinin, a nın e komşuluğu dışındaki
terimleri,
eşitsizliğini
sağlar. |
I. YAKINSAK DİZİLER
ve IRAKSAK DİZİLER
(an) bir reel sayı dizisi, a sabit bir
reel sayı olsun.
Her
e pozitif reel sayısı için,
(an) dizisinin hemen hemen her terimi, a nın e komşuluğunda bulunuyorsa,
(an) dizisi a ya yakınsıyor denir.
(an)
dizisi a sayısına yakınsıyorsa; (an) dizisine
yakınsak dizi denir.
Yakınsak
olmayan dizilere ıraksak diziler denir.
J. DİZİLERİN
LİMİTİ
1. Limitin Tanımı
(an) bir reel sayı dizisi olsun.
(an) dizisi sabit bir a reel sayısına
yakınsıyor ise, a sayısına (an) dizisinin limiti
denir.
lim(an) = a ya da (an) ® a
biçiminde
gösterilir.
Kural
|
1.
(an) dizisi bir a reel sayısına yakınsıyorsa,
bu dizinin her alt dizisi de a reel sayısına yakınsar.
Bunun karşıtı doğru değildir.
2. Bir
dizinin limiti varsa bir tanedir.
3.
 olmak üzere, (an) = (c) ise,
lim(an) = lim(c) = c dir.
(Her sabit dizi
yakınsaktır.) |
2. Limitle İlgili
Özellikler
Kural
|
(an) ve
(bn) birer dizi; a, b, c birer reel sayı
olmak üzere,
 |
K. GENİŞLETİLMİŞ
REEL SAYILAR KÜMESİ
Reel sayılar kümesine, artı sonsuz (+¥) ve eksi sonsuz (–¥) kavramlarının katılmasıyla elde
edilen
[–¥, +¥]
aralığına
(kümesine) genişletilmiş reel sayılar kümesi denir.
1. Iraksak Diziler
Kural
|
1. Her K reel
sayısı için, (an) dizisinin hemen hemen her
terimi (+¥) un K komşuluğunda
ise (an) dizisinin limiti (+¥) dur veya (an) dizisi
(+¥) a ıraksar denir.
2. Her K reel
sayısı için, (an) dizisinin hemen hemen her
terimi (–¥) un K komşuluğunda
ise (an) dizisinin limiti (–¥) dur veya (an) dizisi
(–¥) a ıraksar denir.
3.
(+¥) a veya (–¥) a ıraksayan dizilere ıraksak
diziler denir. |
2. Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesinde
İşlemler
Kural
|
Dizilerin
limitleri bulunurken elde edilen,
ifadeleri
belirsizdir. |
Kural
Kural
Kural
|
(an) bir dizi; c
bir reel sayı olmak üzere,
 |
Kural
|
(an) bir dizi
olmak üzere,
 |
Uyarı
|
(1n) sabit
dizisi ile
 dizisi birbirine
karıştırılmamalıdır.
 |
Uyarı
|
Genel terimi rasyonel kesir
olan dizilerin limitinin hesaplanmasında, aşağıdaki
sıralama kullanılır.
 |
Kural
Kural
|
(an) pozitif
terimli bir dizi olsun.
 |
3. Belirsizlik Durumları
a.
Belirsizliği
Bu tür belirsizlikleri daha önce verdiğimiz kural
yardımı ile sonuçlandırabiliriz.
b. 0 . ¥
Belirsizliği
Bu tür belirsizlikler,
 belirsizliğine
dönüştürülerek limit bulunur.
c. ¥ – ¥ Belirsizliği
¥ – ¥ tipindeki
belirsizlikleri cebirsel işlemler yaparak giderebiliriz.
Kural
|
Bu belirsizliği ortadan
kaldırmak için, (an) dizisinin payı ve
paydası
 ifadesiyle
genişletilir. |
Uyarı
|
 dizisinde
(+¥) – (+¥) belirsizliği vardır.
 dizisinde
belirsizlik söz konusu
değildir.
Bu dizide (+¥) + (+¥) durumu vardır.
(+¥) + (+¥) = +¥
olduğu
için, bu dizi +¥ a
ıraksar. |
Kural
|
a
> 0 olmak üzere,
olur. |
L. SINIRLI
DİZİLER
1. Üst Sınır
Her
 için,
an £ M olacak şekilde bir
M reel sayısı varsa (an) dizisine üstten sınırlıdır
denir.
M
sayısı da bu dizinin üst sınırı adını alır. M den büyük her
reel sayı da (an) dizisinin üst sınırıdır.
Üstten sınırlı bir dizinin üst sınırlarından en
küçük olanına dizinin en küçük üst sınırı (Eküs)
denir.
(an)
dizisinin Eküs ü, Eküs(an) biçiminde
gösterilir.
2. Alt Sınır
Her
için, m £ an olacak şekilde bir m reel
sayısı varsa (an) dizisine alttan sınırlıdır
denir.
m
sayısı da bu dizinin alt sınırı adını alır. m den küçük her
reel sayı da (an) dizisinin alt sınırıdır.
Alttan sınırlı bir dizinin alt sınırlarından en
büyük olanına dizinin en büyük alt sınırı (Ebas)
denir.
(an)
dizisinin Ebas ı, Ebas(an) biçiminde
gösterilir.
3. Sınırlı Diziler
Hem alttan hem de üstten sınırlı olan dizilere,
sınırlı diziler denir.
Uyarı
|
1.
Sınırlı bir dizide Eküs ve Ebas dizinin elemanı
olmayabilir.
2. Monoton
bir dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul,
sınırlı olmasıdır.
3.
Yakınsak her dizi sınırlıdır. Bu ifadenin karşıtı doğru
olmayabilir.
4.
Monoton ve yakınsak bir dizinin, ilk terimi ile
limitinden; büyük olanı Eküs, küçük olanı Ebas
tır. | |
