|
FONKSİYON
A. TANIM
A
¹
Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B
ye bir b
bağıntısı verilmiş olsun.
A nın her elemanı B nin
elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu
bağıntıya fonksiyon denir.
"x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f
fonksiyonu
f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya
fonksiyonun tanım kümesi, B ye de değer kümesi
denir.
Yukarıda
A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f
= {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}
biçiminde
de gösterilir.
|
Ü |
Her
fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon
olmayabilir. |
|
Ü |
Görüntü
kümesi değer kümesinin alt kümesidir. |
|
Ü |
s(A)
= m ve s(B) = n olmak üzere,
i) A dan B ye nm tane fonksiyon
tanımlanabilir.
ii)
B den A ya mn tane fonksiyon
tanımlanabilir.
iii)
A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların
sayısı 2m × n
– nm dir. |
|
Ü |
Grafiği
verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak
için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular
fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir
noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir
fonksiyondur. |
B. FONKSİYONLARDA İŞLEMLER
A
Ç B ¹ Æ olmak üzere,
 fonksiyonları
tanımlansın.
-
(f + g) : A Ç B ®
 , (f + g)(x) =
f(x) + g(x)
-
(f – g) : A Ç B ®
, (f – g)(x) =
f(x) – g(x)
-
(f × g) : A
Ç B ®
, (f
× g)(x) = f(x) ×
g(x)
-
"x Î A Ç B için,
g(x) ¹ 0
olmak üzere,
-
c Î
olmak
üzere,
(c
× f) : A ®
, (c
× f)(x) = c × f(x)
tir.
C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir
fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa
fonksiyon bire birdir..
BBuna
göre, bire bir fonksiyonda,
"x1, x2 Î A için, x1 ¹ x2
iken f(x1) ¹ f(x2) olur.
Diğer
bir ifadeyle,
"x1, x2 Î A için, f(x1) =
f(x2) iken
x1
= x2 ise, f fonksiyonu bire birdir.
|
Ü |
s(A)
= m ve s(B) = n (n ³ m) olmak
üzere,
A
dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların
sayısı,
 |
2. Örten Fonksiyon
Görüntü
kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten
fonksiyon denir.
|
Ü |
f
: A ® B
f(A)
= B ise, f örtendir. |
| Ü |
s(A)
= m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir
örten fonksiyonların sayısı,
m!
= m × (m – 1) × (m – 2) × ... × 3 × 2 × 1
dir. |
3. İçine Fonksiyon
Örten
olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
|
Ü |
İçine
fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman
vardır. |
|
Ü |
s(A)
= m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine
fonksiyonların sayısı mm – m!
dir. |
4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her
elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon
denir.
ise,
f birim (etkisiz) fonksiyondur.
|
Ü |
Birim
fonksiyon genellikle I ile
gösterilir. |
5. Sabit Fonksiyon
Tanım
kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana
eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
|
Ü |
"x Î A ve c
Î B için,
f : A ® B
f(x) = c
ise,
f sabit fonksiyondur. |
|
Ü |
s(A)
= m, s(B) = n olmak üzere,
A
dan B ye n tane sabit fonksiyon
tanımlanabilir. |
6. Çift ve Tek Fonksiyon
f(–x)
= f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(–x)
= –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
|
Ü |
Çift
fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre
simetriktir. |
| Ü |
Tek fonksiyonların grafikleri
orijine göre simetriktir. |
D. EŞİT FONKSİYON
f : A ® B
g : A ® B
Her
x Î A için f(x) = g(x) ise, f
fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.
E. PERMÜTASYON FONKSİYON
f : A ® A
olmak
üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna
permütasyon fonksiyon denir.
A
= {a, b, c} olmak üzere, f : A ®
A
f
= {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu
permütasyon fonksiyon olup
 biçiminde
gösterilir.
F. TERS FONKSİYON
f
: A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B} bire
bir ve örten fonksiyon olmak üzere,
f–1
: B ® A, f–1 = {(y, x)|(x,
y) Î f} fonksiyonuna f nin ters
fonksiyonu denir.
|
 |
(x,
y) Î f ise, (y, x) Î f–1 olduğu için,
y
= f(x) ise, x = f–1(y) dir.
Ayrıca,
(f–1)–1 = f dir.
|
|
(f–1)–1 = f dir. Ancak,
(f–1(x))–1 ¹ f(x)
tir. |
|
f fonksiyonu bire bir ve örten değilse,
f–1 fonksiyon değildir.
|
|
f : A ® B ise,
f–1 : B ® A olduğu
için, f nin tanım kümesi, f–1 in değer
kümesidir. f nin değer kümesi de, f–1 in
tanım kümesidir. |
|
f(a) =
b ise, f–1(b) = a dır.
f–1(b)
= a ise, f(a) = b dir. |
|
Ü |
y
= f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f–1(x)
in grafiği
y = x doğrusuna göre birbirinin
simetriğidir.
 |
| Ü |
 olmak
üzere,
 |
| Ü |
olmak
üzere,
 |
G. BİLEŞKE FONKSİYON
f
: A ® B, g : B ® C fonksiyonları tanımlansın.
f
ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin
elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu
denir.
Buna
göre,
f
: A ® B ve g : B ® C olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke
fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
|
Ü |
(gof)(x)
= g[f(x)] tir. |
|
Bileşke
işleminin değişme özeliği yoktur.
Bu
durumda, fog ¹ gof dir.
Bazı
fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu
“fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini
değiştirmez. |
|
Ü |
Fonksiyonlarda
bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.
Bu
durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur. |
|
Ü |
I
birim fonksiyon olmak üzere,
foI
= Iof = f ve
f–1of
= fof–1 = I dır. |
|
Ü |
f,
g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere,
(fog)–1
= g–1of–1 ve
(fogoh)–1
= h–1og–1of–1
dir. |
|
Ü |
(fog)(x)
= h(x)
ise,
f(x) = (hog–1)(x) dir.
ise,
g(x) = (f–1oh)(x)
tir. |
|
• f–1 (x) = f(x) tir.
• (fof) (x) = x
• (fofof) (x) = f(x)
• (fofofof) (x) = x
... |
H. FONKSİYONUN GRAFİĞİ
Bir
fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen
noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.
f
: A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B, y =
f(x)}
|
 |
(a,
b) Î f
olduğundan
f(a)
= b dir.
Ayrıca,
f–1(b) = a dır.
|
|
Ü |
Yukarıdaki
y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre,
f(–3)
= 3, f(–2) = 1, f(–1) = 2, f(0) = 2, f(1) = 1,
f(2)
= 0, f(3) = 2, f(4) = 1, f(5) = 0 dır.
| |
